Простые и сложные проценты: понятие и формулы

Автор: Виктор Андреевич Mocквин, доктор экономических наук, профессор Государственного университета управления и Академии народного хозяйства при Правительстве РФ, главный научный сотрудник Государственного научного центра РФ «НАМИ».

В финансовом менеджменте учет фактора времени осуществляется с помощью методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений.

Сущностью этих методов является приведение денежных сумм, относящихся к различным временном периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем. При этом в качестве нормы приведения используется процентная ставка (interest rate — r).

В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако в финансовом менеджменте она трактуется более широко.

Процентная ставка здесь также выступает:

• в качестве измерителя уровня (нормы) доходности производимых операций, исчисляемого как отношение полученной прибыли к величине вложенных средств и выражаемого в долях единицы либо в процентах;
• в качестве альтернативной стоимости (издержек) капитала. Под наращением понимают процесс увеличения первоначальной суммы в результате начисления процентов.

Экономический смысл метода наращения состоит в определении величины, которая будет или может быть получена из некоторой первоначальной (текущей) суммы в результате проведения операции. Другими словами, метод наращения позволяет определить будущую величину (future value — FV) текущей суммы (present value — PV) через некоторый промежуток времени n, исходя из заданной процентной ставки r. Используемую при этом ставку r иногда называют ставкой роста.

Дисконтирование представляет собой процесс нахождения денежной величины на заданный момент времени по ее известному или предполагаемому значению в будущем.

В экономическом смысле величина PV, найденная в процессе дисконтирования, показывает современное (с позиции текущего момента времени) значение будущей величины FV.

Нетрудно заметить, что дисконтирование, по сути, является зеркальным отражением наращения. Используемую при этом процентную ставку r называют нормой дисконта.

Следует отметить, что в зависимости от условий проведения финансовых операций как наращение, так и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.

Простые проценты

Как правило, простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше или равен году.

Базой для исчисления процентов за каждый период в этом случае является первоначальная (исходная) сумма сделки.

Арифметика прибыли

Итак, вы решили приумножить свои сбережения путем вложения их на банковский депозит. Безусловно, банковские служащие постараются дать вам развернутую информацию по всем существующим депозитным предложениям, но зная такой простой арифметический нюанс, как формула сложных процентов, вы легко сможете сами сориентироваться, какой из них подходит наилучшим образом. Есть два варианта проведения расчетов:

Первый вариант расчета подходит для многолетних вкладов.

Здесь в теле формулы учитывается количество лет, на которые рассчитана депозитная программа. Определение и суть этого показателя заключается в том, что в конце оговоренного в депозитном договоре периода полученная прибыль прибавляется к первоначальной сумме вклада, далее этот базис можно использовать для последующей капитализации (что такое капитализация процентов). Для большей наглядности воспользуемся примером расчетов. Допустим, вы собираетесь положить на депозит 100 000,00 рублей, банк предлагает процентную годовую ставку капитализации – 11% а срок договора – 10 лет.

Дадим развернутой пояснение к формуле:

• S – итоговая сумма, которую по условиям договора, вкладчик получает в конце срока. Состоит она из суммы вложенных денег и суммарной величины процентов, начисленных за весь период;
• Р – изначально вложенная сумма денежных средств;
• n – в данном случае обозначает количество лет ( в глобальном смысле подразумевает общее количество капитализирующих операций, проведенных за весь период;
• I – ставка процентов, выставленных банком, за один год пользования деньгами вкладчика.

Вставив в формулу значения, взятые для примера, получим:

Для тех, кого интересует расчет капитализации за короткие временные промежутки, будет лучшим решением воспользоваться следующей формулой:

• К – число дней в расчетном году;
• J – число дней, по прошествии которых, банковское учреждение обязано совершить капитализацию оговоренных процентов.

Расчёты произвести легко, зная все вводные данные. Расчет простых процентов может заинтересовать тех вкладчиков, которые хотели бы снимать проценты помесячно.

Второй вариант расчета сложных процентов

Высчитаем сложный процент, пример второй показывает формулу, где берется месячная ставка капитализации:

n — в данном случае обозначает количество месяцев ( в глобальном смысле подразумевает общее количество капитализирующих операций, проведенных за весь период). Число 12 вводится как еще один указатель расчета помесячно.

Аналогичен расчет и для поквартальной и полугодичной капитализации процентов, лишь с изменением показателей количества капитализирующих операций. Возьмем данные из предыдущего примера, для проведения расчетов с новой формулой:

Отсюда мы видим, что если начисление процентов производится каждый месяц, то вкладчик получает выгоду на 15 000 рублей больше, при условии неприкосновенности начисленных процентов в течении всего срока действия договора. Можно составить график, показывающий наглядно выгоду второго варианта:

Все вышеуказанные примеры показывают, что знание совсем простых арифметических действий дает возможность спланировать собственный доход на несколько лет вперед. Для юридических лиц формулы расчета аналогичны. И если для того чтобы понять, что такое балансовая прибыль, а самое главное рассчитать ее правильно, требуются более глубокие знания и громоздкие формулы, то для определения прямой выгоды от депозитов вполне достаточно базовых расчетов.

Наращение по простым процентам

В общем случае наращение по годовой ставке простых процентов вычисляют по формуле:

FV = PV (1 + r * n)

где FV— будущая стоимость (величина); PV — современная величина; n — число периодов (лет); r — процентная ставка.

На практике продолжительность краткосрочной операции обычно меньше года. В этом случае срок проведения операции корректируется следующим образом:

ЕЩЕ СМОТРИТЕ:  Анализ продаж и управленческие решения

где t — число дней проведения операции; В — временная база (число дней в году: 360, 365 или 366).

С учетом корректировки срока операции ее будущую стоимость можно определить как:

FV = PV (1 + r * [t /B]).

Обычно при определении продолжительности операции даты ее начала и окончания считаются за один день.

В процессе проведения анализа в качестве временной базы часто удобно использовать условный, или финансовый, год, состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней). Исчисляемые по такой базе проценты называют обыкновенными, или коммерческими.

Точные проценты получают при базе, равной фактическому числу дней в году, т. е. при В = 365 или 366.

Пример. Покупатель предоставил коммерческий кредит под гарантию оплаты продукции на сумму 10 000 ед. через 30 дней. Ставка по кредиту определена в размере 30% годовых. Какова будет сумма оплаты по контракту?

Вычислим ее:

а) с использованием обыкновенных процентов

FV = 10 000 * (1 + 0,30 * (30 / 360)) = 10 250 ед.;

б) с использованием точных процентов

FV= 10 000 * (1 + 0,30 * (30 / 365)) = 10 246,58 ед.

В свою очередь, срок продолжительности операции также может быть приблизительным (когда месяц принимается равным 30 дням) или точным (фактическое число дней в каждом месяце).

Таким образом, в зависимости от параметров t и В возможны следующие варианты начислений процентов:

• 365/365 — точное число дней проведения операции и фактическое число дней в году;
• 365/360 — точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней);
• 360/360 — приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (12 месяцев по 30 дней).

Обыкновенные проценты (360/360) более удобно использовать в аналитических расчетах. Этим объясняется популярность их применения на практике в большинстве развитых стран, включая США и государства Европы.

В России в основном применяются точные проценты (365/365). В частности, они используются в официальных методиках Центрального банка РФ и Минфина России для расчета доходности по краткосрочным государственным обязательствам.

Дисконтирование по сложным процентам

Формулу для определения современной величины по сложным процентам можно легко вывести формулы сложных процентов делением его обеих частей на величину (1 + r) n. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:

PVn = FVn / (1 + r)n

Пример. Выплаченная по 3-летнему депозиту сумма составила величину 100 ед. Определить первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 8% годовых. Аналитическое решение задачи будет иметь следующий вид:

PV = 100,00 / (1 + 0,08)3 = 79,38 ед.

Если начисление процентов осуществляется m раз в году, соотношение будет иметь вид:

PV n, m = FVn (1 + r / m)mn

Методы наращения и дисконтирования играют важную роль в финансовом менеджменте, так как являются инструментарием для оценки потоков платежей.

Изучите простые и сложные проценты в практическом курсе «Финансовый менеджмент: управление финансами»:

Изучите сегодня

• 
  

  Нумерология

• 
  

  Диссекционный кадавер-курс по инъекционным и нитевым методикам в косметологии. День третий: мастер-класс живых инъекций

• 
  

  IV Продвинутый диссекционный кадавер-курс по инвазивным методикам коррекции различных зон лица. День третий: мастер-класс живых инъекций

• 
  

  Реклама: создание, планирование, размещение

• 
  

  Психология мотивации и влияния

• 
  

  Конкурентная разведка

• 
  

  STERILIS: асептика и антисептика в практике врача-косметолога

• 
  

  Введение в современный маркетинг

• 
  

  Стратагемы: мудрость обращения с людьми

Также смотрите

Применение формулы сложных процентов на практике

Понять, как рассчитываются сложные проценты, можно по приведённому примеру. Предположим, вы положили на счёт в банке 10000 руб., с ежегодной капитализацией, процентная ставка составляет 8% годовых. На самом деле чаще встречается ежемесячна капитализация, но, чтобы лучше понять принцип, рассмотрим ежегодную.

Итак, по истечении года размер вклада составит 10800 руб. Сумма получилась так: 10000 первоначальных инвестиций и 800 руб. – начисленные проценты.

По истечении второго года проценты будут начисляться уже на сумму 10800 руб. и составят 864 руб. Таким образом, размер вклада составить 11 664 руб.

В долгосрочном периоде изменение суммы выглядит внушительно: через 4 года сумма будет равна 13604 руб., через 5 лет – 14693 руб., а по истечении 100 лет на счету будет сумма 21 997 612 руб.

Вклад, по которому будут начисляться простые проценты, не будет увеличиваться такими быстрыми темпами. Вклад размером 10000 руб. при начислении простых процентов через 100 лет увеличится лишь в 9 раз.

Вклад со сложным процентом

Банки предлагают вклад с капитализацией – именно так называется вклад с начислением сложного процента.

Рассматривая расчёт сложных процентов, подразумевается, что к депозиту после каждого периода начисления процентов (так называемый период капитализации) прибавляется полученный доход.

Процент во втором периоде будет начислен на сумму плюс процент за первый период, в третьем периоде расчетная сумма уже увеличится, и процент тоже – он начисляется от суммы, увеличенной в результате прибавления двух разных процентов, причем второй будет выше первого.

Процент начисляется на процент, и каждый последующий период капитализации принесет доход выше, чем он был в прошлые периоды.

Понятно, что с течением времени доходность будет рассчитываться с суммы, заметно превышающей первоначальный депозит.

Длительность срока размещения денег при использования вклада с расчетом накоплений по формуле сложных процентов по вкладу играет ключевую роль. Чем дольше лежат деньги, тем выгоднее вклад.

Хитрость в том, что в линейке банковских вкладов вклады с капитализацией всегда предлагаются под более низкий процент, чем другие срочные вклады.

Для определения, какое вложение выгоднее, рассчитывайте свой доход по формуле.

Кредит со сложным процентом

Особенно важно не попасть в ситуацию, когда процент по кредиту оказывается гораздо выше, чем вы себе представляли.

Это может произойти, если вы не учитываете сложный процент. Рост задолженности становится проблемой, если вы не гасите такой кредит быстро.

Процент, начисленный на увеличенную сумму, растет в соответствии с законами математики. Так же, как и в случае с вкладами, конечная сумма увеличивается с каждым сроком, за который начисляется процент, неравномерно.

Как правило, процент за пользование кредитом берется каждый месяц.

Рассчитать рост задолженности можно по такой же формуле, как и рост вклада при депозите с капитализацией.

Формула расчета сложных процентов

Договоримся обозначать величины так.

Д – начальная сумма, вложенная в банк, или взятая в кредит

С – конечная сумма

п- количество периодов начисления процентов. Таким периодом быть год, квартал, месяц — в соответствии с договором.

X- процентная ставка, за период начисления процентов. Не ставка за год, а именно за тот период, за какой происходит начисление процентов. Например, в договоре указано 12% годовых, а капитализация происходит каждый месяц. Значит, Х в нашем случае равно 1.

Значит, учитывая начисление процентов, мы имеем в конце

• первого месяца С= Д+Д*X/100,
• второго С= Д+Д*X/100+( (Д+Д*X/100)*X/100),
• третьего С=Д+Д*X/100+( (Д+Д*X/100)*X/100)+( Д+Д*X/100+ (Д+Д*X/100)*X/100)*Х/100

Таким образом, проведя математические преобразования, формулу сложных процентов по кредиту можно представить в общем случае как

С= Д*(1+ X/100)n

Видим, что временная составляющая – количество периодов начисления процентов, является степенью. Это говорит о том, что с течением времени конечная сумма С будет расти все более высокими темпами.

Можно рассчитать, как увеличится вклад при депозите сто тысяч под шесть процентов годовых с ежегодной капитализацией на разный срок.

Подставляем в формулу значения для 3 лет, это

100000*(1+0,06)3 =119101,6 рублей, и для 10 лет:

100000*(1+0,06)10 =179084,74

Заметно, что в первые годы вклад рос незначительно, среднегодовой доход за первые три года составил 6366,66 рублей.

Если разделить сумму дохода, полученную после 10 лет накопления, то получим большую ежегодную сумму — 7908 рублей.

Чем больше срок размещения депозита, тем более заметной будет разница.

Еще один интересный расчет – какова разница результата, если рассчитывать итоговую сумму по правилу простого процента в этом же примере? Получаем такие данные:

• Три года – 100000+(100000/100*6)*3= 118000 рублей.
• Десять лет — 100000+(100000/100*6)*10 = 160000 рублей.

Можно сделать вывод, что при одной и той же базовой процентной ставке депозит под сложный процент выгоднее, кредит затратнее.

И прослеживается большая зависимость от срока размещения.

Чем он больше, тем заметнее разница по сравнению с простым процентом.

Как посчитать проценты от числа: Высчитать и рассчитать проценты по кредиту — Формула сложных процентов

Каждый человек хотя бы однажды обращается в банк с целью взять кредит. Мотивация у всех, как правило, одинакова — обратиться в банк за деньгами под определенные проценты проще, чем занимать у друзей и знакомых.  У каждого в жизни может возникнуть такой момент, что деньги необходимы здесь и сейчас, а накопления отсутствуют или их не хватает. За решением этой проблемы мы обращаемся в банк.

Но информационная картина, создаваемая средствами массовой информации, заставляет нас очень основательно подходить к этому вопросу, поскольку истории отдельных людей, у которых забирают квартиры, машины либо что-то еще за долги и просрочки по кредитным обязательствам, устрашают и наводят на неприятные мысли.

Ежемесячные платежи: принцип формирования

Прежде чем обращаться в тот или иной банк, мы тщательно знакомимся с их кредитными предложениями. На их основе можно попробовать самостоятельно произвести расчет по процентам и высчитать сумму переплаты по нему. Ситуация на кредитном рынке складывается таким образом, что платежи по кредитам необходимо вносить аннуитетным способом — сумма ежемесячного платежа остается неизменной на всем сроке кредитования.

Регулярный платеж формируется обычно из суммы внесения оплаты основного долга и начисленных на нее процентов. Иногда сюда входит оплата дополнительных ежемесячных услуг:

• страховки,
• комиссионного сбора.

В сумме первых выплат основную часть занимают проценты, и только по истечении определенного срока они начинают уменьшаться. Вследствие чего увеличивается сумма, идущая на гашение основного долга.

Практика показывает, что во всех банках кредитные договора формируются с учетом сложных и простых процентов. Простые проценты определяются на базе первоначальной суммы кредита, без зависимости от количества платежей и срока кредитования.

Сложные проценты по кредиту рассчитываются следующим способом: расчет производится на первоначальную сумму займа, а также на увеличение долга по кредитным обязательствам, который начисляется сразу же после первоначального начисления процентов по кредиту. Поэтому получается, что база для начисления сложных процентов будет постепенно расти, в зависимости от периода начислений.

Проще говоря, расчет таких процентов происходит за счет начисления процентов на проценты. Такая схема выплат по кредитным обязательствам приводит к тому, что к сумме общего долга в каждом последующем месяце плюсуется платеж процентов, а в следующем за основу берется увеличенная сумма первоначального займа.

Примеры вычислений

Формула сложных процентов по кредитным обязательствам выглядит следующим образом:

Условные обозначения:

• T — количество периодических выплат;
• СК — сумма займа по кредиту кредита;
• ПС — процентная ставка, начисляемая на долг за период;
• ЕПn — размер выплаты за n — й период (n принимает значения от 1 до T);
• ПСК – сумма процентов, выплаченных по кредитным обязательствам за весь период.

Как уже говорилось выше, погашение кредита происходит аннуитетными платежами, поэтому:

ЕПn = СК*ПС / (1 — 1 / (1+ПС)^T) – все платежи между собой равны, так как не зависят от n.

СК = ЕП * (1 — 1 / (1+ПС)^T) /ПС

ПСК = ЕП*T — СК

Знак ‘^’ в формулах означает возведение в степень.

Рассмотрим пример расчета ежемесячной выплаты:

T = 6 мес.; КС = 9 000 рублей; ПС = 15% годовых/ 12 мес. = 0.0125  ЕП = 9000 * 0.0125 / (1 — 1/ (1.0125)^6) = 112.5 / 0.071825 = 1566.30 рублей  ПСК = 1566.30*6 — 9 000 = 397.8 рублей

Пример расчёта общей суммы займа:

Т = 6 мес.; ЕП = 10 000 рублей; СК = 15% годовых/ 12 мес. = 0.0125  СК = 10000 * 0.071825 / 0.0125 = 57460 рублей

Если вам выдали кредит, предусматривающий гашение дифференцированными платежами (основная сумма займа выплачивается равными долями, начисляемые проценты с каждым разом снижаются, как следствие понижается общая сумма платежа), то формула сложных процентов будет рассчитываться следующим образом

ПСК = СК*ПС *(Т + 1) / 2

ЕПn = СК / T + СК*(T-n+1)*ПС / Т

На примере это выглядит так:

Т = 12 мес.; СК = 9 000 рублей; ПС = 15% годовых/ 12 мес. = 0.0125  ПСК = 9000*0.0125*(12+1)/2 = 393,75 рублей  ЕП1 = 9000/12 + 9000*12*0.0125/12 = 862,5 рублей  …  ЕП6 = 9000/12 + 9000*1*0.0125/12 = 759,38 рублей

finrussia.ru

Смотрите также

• Кредит сколько процентов
• Получить кредит с обеспечением
• Кредиты без справок и поручителей безработным
• Газпром рефинансирование кредитов других банков
• Безвозвратный кредит что это такое
• Кредит что такое в бухгалтерии
• Почта банк хоум кредит для сотрудников
• Кредит под залог садового участка
• Мини кредиты наличными по паспорту
• Уралсиб кредиты наличными
• Помощь в получении кредита стерлитамак